ทำไมลบคูณลบถึงได้บวก?

ก่อนที่เราจะมารู้ว่า ทำไมลบคูณลบถึงได้บวก ผมอยากจะเริ่มจ้นด้วยสมบัติการบวกและการคูณของจำนวนจริงก่อนนะครับ(ลำดับและจำนวนข้ออาจจะไม่เหมือนกับที่เคยเรียนกันนะครับ แล้วแต่ตำรา)


สมบัติการบวกและการคูณของจำนวนจริง
A1. สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a+b จะเป็นจำนวนจริงด้วย

A2. สมบัติสลับที่การบวก

a+b=b+a

A3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก

(a+b)+c=a+(b+c)

A4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

0 ถือว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a+0=0+a=a

A5. สมบัติการมีตัวผกผันของการบวก

-a จะถือว่าเป็นตัวผงผันของ a เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a+(-a)=0=(-a)+a

M1. สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a×b จะเป็นจำนวนจริงด้วย

M2. สมบัติสลับที่การคูณ

a×b=b×a

M3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

(a×b)×c=a×(b×c)

M4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

สำหรับทุกๆจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 จะถือว่า1เป็นเอกลักษณ์การคูณ เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a×1=1×a=a

M5. สมบัติการมีตัวผกผันของการคูณ

สำหรับทุกๆจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 จะถือว่า1/aเป็นตัวผกผันของ a เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a×(1/a)=1=(1/a)×a

D1. สมบัติการแจกแจง

a×(b+c)=(a×b)+(a×c)



------------------

หมายเหตุ:

1. สำหรับเอกลักษณ์การบวกและการคูณ จะมีแค่1ตัวเท่านั้น สำหรับทุกๆจำนวนจริง แต่ตัวผกผันจะมี1ตัวสำหรับแต่ละจำนวนจริง

เช่น เอกลักษณ์การบวกของ 2และ3 คือ 0 แต่ตัวผกผันการบวกของ 2 คือ -2 และ 3 คือ -3

2. การจะทำการหาเอกลักษณ์และตัวผกผันของการคูณ จะต้องนำสมาชิกที่เป็น เอกลักษณ์ของการบวกออกไปก่อนถึงจะหาได้ (0)

3. A ย่อมาจาก Addition (การบวก) M ย่อมาจาก Multiplication (การคูณ) และ D มาจาก Distribution (การแจกแจง) ที่เขียนอย่างนี้เพื่อที่เวลาจะอ้างอิงจะได้รู้ว่าใช้คุณสมบัติการบวกหรือการคูณ

-------------------



เมื่อเรารู้จักกับสมบัติของจำนวนจริงกันแล้วการที่จะแสดงว่า ลบคูณลบได้บวกนั้นสามารถแสดงได้หลากหลายวิธีเช่น



วิธีที่1

[1.] ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะได้ว่า -a เป็นตัวผกผันการบวกของ a (A5)

[2.] ในทำนองเดียวกัน ให้ -a เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า -(-a) ก็จะเป็นตัวผกผันของ -a (A5)

[3.] แต่จากหมายเหตุ1. เราได้ว่าจำนวนจริง 1 ตัว จะมีตัวผกผันเพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น แต่จาก [1.] และ [2.] เราได้ว่า ตัวผกผันของ -a คือ a (จาก[1.]) และ -(-a) (จาก[2.]) ดังนั้น ตัวผกผัน2ตัวนี้จึงจำเป็นที่จะต้องเท่ากัน หรือก็คือ a= -(-a) นั้นเอง



วิธีที่2

[1.] a×0 = 0

[2.] a×(b+(-b)) = 0 (ใช้ A5)

[3.] a×b + a×(-b) = 0 (ใช้ D1)

จาก [ 3.] จะเห็นได้ว่า ตัวผกผันของ a×(-b) คือ a×b

[4.] (-a)×0 = 0

[5.] (-a)×(b+(-b)) = 0 (ใช้ A5)

[6.] (-a)×b + (-a)×(-b) = 0 (ใช้ D1)

จาก [ 6.] จะเห็นได้ว่า ตัวผกผันของ (-a)×b คือ

 (-a)×(-b)

แต่เนื่องจาก a×(-b) = (-a)×b (M2 และ M3) ดังนั้นทำให้ได้ว่า ทั้ง a×b และ (-a)×(-b) จะเป็นตัวผกผันของ a×(-b)

จากหมายเหตุ1. ทำให้สรุปำด้ว่า a×b = (-a)×(-b)



จะเห็นได้ว่าที่2วิธีนี้จะให้สมบัติที่ว่า ตัวผกผันของจำนวนจริงใดๆนั้นมีได้เพียง1 ตัวเท่านั้น





การเรียนคณิตศาสตร์ให้สนุก เราต้องฝึกตั้งคำถามบ่อยๆนะครับ เพราะความไม่รู้จะนำเราไปสู่ความรู้ใหม่ๆตลอด สุดท้ายนี้ผมอยากจะปิดด้วยคำคมของนักฟิสิกส์ท่านหนึ่งครับ



"I would rather have questions that can't be answered than answers that can't be questioned." Richard Feynman



ปล. ถ้าใครมีคำแปลที่มันดีๆ ก็ช่วยคอมเม้นให้หน่อยนะครับ(เผื่อจะขอยืมมาใช้ด้วย) พอดีว่าผมลองแปลแล้วมันฟังดูแปลกๆ เลยขอยังไม่แปลก่อนนะครับ 55555



----------------------

เพิ่มเติม:

ใน2วิธีนี้ วิธีแรกจะเป็นวิธีที่นิยมมากกว่าเนื่องจากว่าเราใช้สมบัติของจำนวนจริงเพียงอย่างเดียวซึ่งถ้าเกิดว่า เราเรียนคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย (เอกคณิต) เราจะเจอกับหัวข้อนึงได้ว่าด้วยสมบัติเหล่านี้ ซึ่งไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น การพิสูจน์ด้วยวิธีที่ 1 จะยังคงใช้ได้ แต่วิธีที่2 นั้น จะไม่สามารถใช้ได้เนื่องจากว่าในจำนวนจริงนั้น -a = -1×a แต่ในบางกรณี(นอนเหนือจากจำนวนจริง) อาจจะไม่เป็นจริงก็ได้



จากการแสดงด้านบน เรายังสามารถแสดงได้อีกว่า a = 1/(1/a) เมื่อ a ไม่เท่ากับ0 ซึ่งวิธีการก็จะคล้ายๆกันแต่เวลาที่เราทำอาจจะต้องระวังเพิ่มเติมอีกนิดหน่อย



ลองหาจุดผิดกันดูนะครับ

[1.] ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะได้ว่า 1/a เป็นตัวผกผันการคูณของ a (M5)

[2.] ในทำนองเดียวกัน ให้ 1/a เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า 1/(1/a) ก็จะเป็นตัวผกผันของ 1/a (M5)

[3.] แต่จากหมายเหตุ1. เราได้ว่าจำนวนจริง 1 ตัว จะมีตัวผกผันเพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น แต่จาก [1.] และ [2.] เราได้ว่า ตัวผกผันของ 1/a คือ a (จาก[1.]) และ 1/(1/a) (จาก[2.]) ดังนั้น ตัวผกผัน2ตัวนี้จึงจำเป็นที่จะต้องเท่ากัน หรือก็คือ a= 1/(1/a) นั้นเอง

การเดินทางของตัวเลข

ผมขอเริ่มต้นด้วยคำถามที่ว่า "ตัวเลข คืออะไร?"

1, 2 อันนี้คือตัวเลข?

๑, ๒ หรือว่าอันนี้?

I, II หรือแบบนี้?

e, cos1 แล้วพวกนี้ยังถือว่าเป็นตัวเลขอยู่หรือเปล่า?



ตัวเลขนั้นจริงๆแล้วเป็นสิ่งสมมัติที่มนุษย์สร้างขึ้นมาเพื่อใช้ในการนับ การวัด การคำนวนสิ่งต่างๆ ส่วนตัวอย่างข้างบนนั้น เป็นเพียงสัญญลักษณ์ที่ใช้แสดงถึงตัวเลขนั้นๆ ไม่ว่าจะเป็น 1, ๑ หรือ I ก็แสดงถึงสิ่งเดียวกัน ซึ่งในหลังจากนี้ผมจะขอใช้ตัวเลขแบบฮินดู-อารบิก (1, 2, 3, ...)นะครับ

เราสามารถแบ่งตัวเลขออกได้หลายชนิด เช่น

-จำนวนเต็ม (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)

-จำนวนนับ (1, 2, 3, ...)

-เศษส่วน (เช่น 1/2, 3/4, 123/23)

-จำนวนตรรกยะ (เช่น 1, 2/7, 1.333...)

-จำนวนจริง (เช่น 3, 22/7, 1.2323, 1.2345..., e)

-จำนวนพีชคณิต (เช่น 1, 2/5, sqrt(2) )

และอื่นๆอีกมากมา

--‐---------------------

หมายเหตุ:

sqrt(n) คือ รากที่2ของn หมายถึง ตัวเลข(ที่เป็นค่าบวก)ที่คูณกับตัวมันเองแล้วมีค่าเท่ากับn เช่น

sqrt(4) = 2 เพราะว่า 2×2=4

------------------------



ในบทนี้เราจะมาย้อนดูการพัฒนาของตัวเลขกัน

*อันนี้จะเรียงตามลำดับเวลาที่มันเข้ามาในเส้นจำนวนนะครับ เพราะ ตัวเลขแต่ละตัวเลข ถูกคิดค้นขึ้นต่างที่ต่างเวลา*


เรามาเริ่มต้นด้วยจำนวนกลุ่มแรกกันเลยครับ นั้นก็คือ "จำนวนนับ(counting number)" จำนวนนับนั้นถือว่าเป็นตัวเลขชุดแรกที่มีการนำมาใช้เพื่อการนับสิ่งของ ตามชื่อของมัน โดยจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่แค่มนุษย์เท่านั้นที่รู้จัก แต่สัตว์ต่างๆก็รู้เรื่องจำนวนนับนี้ด้วย(ถึงแม้ว่าพวกมันจะไม่เข้าใจสัญญลักษณ์ที่เราใช้ก็เถอะ) จำนวนนับนั้นถูกใช้มาเป็นระยะเวลาที่นานมาก มีหลักฐานทางประวัติศาสตร์ว่า คนยุคโบราณได้พัฒนาระบบของจำนวนนับ ก่อนที่จะมีภาษาเขียนไว้จดบันทึกเสียอีก โดยสมัยก่อนก็จะใช้วิธีการขีดเส้นเป็นเส้นตรง ตามหิน กระดูกต่างๆ เพื่อใช้บอกว่าสิ่งของนั้นมีกี่ชิ้น


ต่อมาเมื่อมนุษย์เริ่มอยู่กันเป็นสังคม สิ่งที่ตามมาก็คือการแบ่งทรัพยากรต่างๆกัน ซึ่งนำมาสู่การพัฒนาจำนวนกลุ่มต่อไป ซึ่งก็คือ "เศษส่วน(fraction)" เนื่องจากว่าการแบ่งสิ่งของบางทีอาจจะไม่ได้ลงตัวเสมอไป เช่นถ้าจะแบ่งที่ดิน1ไร่ ให้กับ คน2คนเท่าๆกัน ก็จะได้คนละ 1/2ไร่


พอเราเริ่มมีตัวเลขที่มีความหลากหลายขึ้นแล้ว ก็เริ่มมีคนนำมันไปใช้ในการคำนวนต่างๆมากมาย เช่น การสร้างปิรามิด การดูดาว ฯลฯ จะมาถึงยุคของพีทาโกรัส ก็ได้ถือเป็นหนึ่งในยุคทองของคณิตศาสตร์ โดยมีการก่อตั้งสถาบันขึ้น(มีพีทาโกรัสเป็นครูใหญ่) ก็ได้มีการถกเถียง และพัฒนาทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์มากมาย ซึ่งในสถาบันนี้มีความเชื่อว่า "ตัวเลขทุกตัว สามารถเขียนเป็นรูปเศษส่วนได้" แต่มีอยู่วันหนึ่ง นักเรียนของพีทาโกรัสได้ค้นพบทฤษฎีบท ที่แสดงให้เห็นว่า มันไม่สามารถเขียนอยู่ในรู้เศษส่วนได้ ซึ่งก็ถือเป็นการค้นพบ "จำนวนอตรรกยะ(irrational number)" เป็นครั้งแรก ดังนั้นเราจึงเรียกตัวเลขที่เป็นจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนได้ว่า "จำนวนตรรกยะ(rational number)"


ต่อไปเป็นเลขที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ นั้นก็คือ "เลขศูนย์(zero)" ซึ่งเราอาจจะสงสัยว่า เลขศูนย์มันสำคัญตรงไหน? เราต้องลองย้อนไปในอดีตดูว่า ในสมัยก่อนไม่มีความจำเป็นที่จะต้องแสดงถึงการที่เราไม่มีสิ่งใดสิ่งหนึ่ง เพราะการที่เราบอกว่า "เรามีไม่มีผลไม้" มันง่ายกว่า "เรามีผลไม้ศูนย์ผล" ดังนั้นในอดีต ศูนย์ถึงเป็นเลขที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์ตัวหนึ่งเลยที่เดียว ยิ่งพอเราเริ่มใช้ตัวเลขฮินดู-อารบิก แล้ว การเขียนตัวเลขเยอะๆ จะเขียนโดยการดูเป็นหลัก เช่น 123 คือ มี100 อยู่1ตัว มี10อยู่2ตัว และมี1อยู่3 ตัว แต่ก่อน ตอนที่เรายังไม่นำสัญญลักษณ์"0" มาใช้สื่อถึงศูนย์นั้น บางคนก็ใช้วิธีเว้นว่าง เช่น 2 3 = 203 เป็นต้น ซึ่งทำให้พอเราย้อนกลับมาดูอาจจะมีการสับสนได้ว่า ตัวเลข 2 3 นี้หมายถึง 203 หรือ 2030 กันแน่ ดังนั้นเลขศูนย์จึงถือว่าเป็นเลขที่ทำให้เราทำการคำนวนสิ่งต่างๆได้อย่างมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น


ตัวเลขกลุ่มสุดท้ายที่จะเติมเต็ม"จำนวนจริง(real number)" ให้สมบูรณ์ ก็คือ "จำนวนติดลบ(negative number)" ทั้งที่เป็นจำนวนเต็ม และไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนลบนี้ พึ่งจะถูกยอมรับให้ลงมาอยู่ในระบบจำนวนจริงเมื่อ 3ร้อยถึง5ร้อยปีนี้เอง เนื่องจากว่าในอดีตมันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะให้ตัวตั้ง น้อยกว่าตัวลบ เช่น 3-5 แต่ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทำให้เกิดจำนวนที่ไม่น่าจะเป็นไปได้นี้ขึ้นมา เช่นการคำนวนเกี่ยวกับการเงิน ซึ่งคำนวนกำไรขาดทุน (จำนวนบวกแทนกำไร, จำนวนลบแทนขาดทุน)


ดังนั้นเมื่อเรานำจำนวนทั้งหมดนี้มารวมกัน เราจะเรียกมันว่า จำนวนจริง ซึ่งถ้าเราจะแบ่งให้เป็นระเบียบก็จะได้ตามนี้

จำนวนจริง

1. จำนวนตรรกยะ

1.1 จำนวนเต็ม

1.1.1 จำนวนเต็มบวก

1.1.2 จำนวนเต็มศูนย์

1.1.3 จำนวนเต็มลบ

1.2 เศษส่วน/ทศนิยมซ้ำ

2. จำนวนอตรรกยะ



ซึ่งในความจริงแล้วเรายังสามารถจัดกลุ่มในรูปแบบอื่นได้อีก เช่น

จำนวนจริง

1. จำนวนพีชคณิต

2. จำนวนอดิศัย เป็นต้น


และที่จริงแล้วจำนวนจริงก็ยังเป็นแค่ส่วนหนึ่งของจำนวนที่ใหญ่กว่าอีกหลายๆจำนวน เช่น จำนวนเชิงซ้อน(complex number), ควอเทอร์เนียน(quaternion) ฯลฯ ถ้ามีความสนใจลองไปศึกษาต่อกันได้ครับ