ผมขอเริ่มต้นด้วยคำถามที่ว่า "ตัวเลข คืออะไร?"
1, 2 อันนี้คือตัวเลข?
๑, ๒ หรือว่าอันนี้?
I, II หรือแบบนี้?
e, cos1 แล้วพวกนี้ยังถือว่าเป็นตัวเลขอยู่หรือเปล่า?
ตัวเลขนั้นจริงๆแล้วเป็นสิ่งสมมัติที่มนุษย์สร้างขึ้นมาเพื่อใช้ในการนับ การวัด การคำนวนสิ่งต่างๆ ส่วนตัวอย่างข้างบนนั้น เป็นเพียงสัญญลักษณ์ที่ใช้แสดงถึงตัวเลขนั้นๆ ไม่ว่าจะเป็น 1, ๑ หรือ I ก็แสดงถึงสิ่งเดียวกัน ซึ่งในหลังจากนี้ผมจะขอใช้ตัวเลขแบบฮินดู-อารบิก (1, 2, 3, ...)นะครับ
เราสามารถแบ่งตัวเลขออกได้หลายชนิด เช่น
-จำนวนเต็ม (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
-จำนวนนับ (1, 2, 3, ...)
-เศษส่วน (เช่น 1/2, 3/4, 123/23)
-จำนวนตรรกยะ (เช่น 1, 2/7, 1.333...)
-จำนวนจริง (เช่น 3, 22/7, 1.2323, 1.2345..., e)
-จำนวนพีชคณิต (เช่น 1, 2/5, sqrt(2) )
และอื่นๆอีกมากมา
--‐---------------------
หมายเหตุ:
sqrt(n) คือ รากที่2ของn หมายถึง ตัวเลข(ที่เป็นค่าบวก)ที่คูณกับตัวมันเองแล้วมีค่าเท่ากับn เช่น
sqrt(4) = 2 เพราะว่า 2×2=4
------------------------
ในบทนี้เราจะมาย้อนดูการพัฒนาของตัวเลขกัน
*อันนี้จะเรียงตามลำดับเวลาที่มันเข้ามาในเส้นจำนวนนะครับ เพราะ ตัวเลขแต่ละตัวเลข ถูกคิดค้นขึ้นต่างที่ต่างเวลา*
เรามาเริ่มต้นด้วยจำนวนกลุ่มแรกกันเลยครับ นั้นก็คือ "จำนวนนับ(counting number)" จำนวนนับนั้นถือว่าเป็นตัวเลขชุดแรกที่มีการนำมาใช้เพื่อการนับสิ่งของ ตามชื่อของมัน โดยจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่แค่มนุษย์เท่านั้นที่รู้จัก แต่สัตว์ต่างๆก็รู้เรื่องจำนวนนับนี้ด้วย(ถึงแม้ว่าพวกมันจะไม่เข้าใจสัญญลักษณ์ที่เราใช้ก็เถอะ) จำนวนนับนั้นถูกใช้มาเป็นระยะเวลาที่นานมาก มีหลักฐานทางประวัติศาสตร์ว่า คนยุคโบราณได้พัฒนาระบบของจำนวนนับ ก่อนที่จะมีภาษาเขียนไว้จดบันทึกเสียอีก โดยสมัยก่อนก็จะใช้วิธีการขีดเส้นเป็นเส้นตรง ตามหิน กระดูกต่างๆ เพื่อใช้บอกว่าสิ่งของนั้นมีกี่ชิ้น
ต่อมาเมื่อมนุษย์เริ่มอยู่กันเป็นสังคม สิ่งที่ตามมาก็คือการแบ่งทรัพยากรต่างๆกัน ซึ่งนำมาสู่การพัฒนาจำนวนกลุ่มต่อไป ซึ่งก็คือ "เศษส่วน(fraction)" เนื่องจากว่าการแบ่งสิ่งของบางทีอาจจะไม่ได้ลงตัวเสมอไป เช่นถ้าจะแบ่งที่ดิน1ไร่ ให้กับ คน2คนเท่าๆกัน ก็จะได้คนละ 1/2ไร่
พอเราเริ่มมีตัวเลขที่มีความหลากหลายขึ้นแล้ว ก็เริ่มมีคนนำมันไปใช้ในการคำนวนต่างๆมากมาย เช่น การสร้างปิรามิด การดูดาว ฯลฯ จะมาถึงยุคของพีทาโกรัส ก็ได้ถือเป็นหนึ่งในยุคทองของคณิตศาสตร์ โดยมีการก่อตั้งสถาบันขึ้น(มีพีทาโกรัสเป็นครูใหญ่) ก็ได้มีการถกเถียง และพัฒนาทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์มากมาย ซึ่งในสถาบันนี้มีความเชื่อว่า "ตัวเลขทุกตัว สามารถเขียนเป็นรูปเศษส่วนได้" แต่มีอยู่วันหนึ่ง นักเรียนของพีทาโกรัสได้ค้นพบทฤษฎีบท ที่แสดงให้เห็นว่า มันไม่สามารถเขียนอยู่ในรู้เศษส่วนได้ ซึ่งก็ถือเป็นการค้นพบ "จำนวนอตรรกยะ(irrational number)" เป็นครั้งแรก ดังนั้นเราจึงเรียกตัวเลขที่เป็นจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนได้ว่า "จำนวนตรรกยะ(rational number)"
ต่อไปเป็นเลขที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ นั้นก็คือ "เลขศูนย์(zero)" ซึ่งเราอาจจะสงสัยว่า เลขศูนย์มันสำคัญตรงไหน? เราต้องลองย้อนไปในอดีตดูว่า ในสมัยก่อนไม่มีความจำเป็นที่จะต้องแสดงถึงการที่เราไม่มีสิ่งใดสิ่งหนึ่ง เพราะการที่เราบอกว่า "เรามีไม่มีผลไม้" มันง่ายกว่า "เรามีผลไม้ศูนย์ผล" ดังนั้นในอดีต ศูนย์ถึงเป็นเลขที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์ตัวหนึ่งเลยที่เดียว ยิ่งพอเราเริ่มใช้ตัวเลขฮินดู-อารบิก แล้ว การเขียนตัวเลขเยอะๆ จะเขียนโดยการดูเป็นหลัก เช่น 123 คือ มี100 อยู่1ตัว มี10อยู่2ตัว และมี1อยู่3 ตัว แต่ก่อน ตอนที่เรายังไม่นำสัญญลักษณ์"0" มาใช้สื่อถึงศูนย์นั้น บางคนก็ใช้วิธีเว้นว่าง เช่น 2 3 = 203 เป็นต้น ซึ่งทำให้พอเราย้อนกลับมาดูอาจจะมีการสับสนได้ว่า ตัวเลข 2 3 นี้หมายถึง 203 หรือ 2030 กันแน่ ดังนั้นเลขศูนย์จึงถือว่าเป็นเลขที่ทำให้เราทำการคำนวนสิ่งต่างๆได้อย่างมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น
ตัวเลขกลุ่มสุดท้ายที่จะเติมเต็ม"จำนวนจริง(real number)" ให้สมบูรณ์ ก็คือ "จำนวนติดลบ(negative number)" ทั้งที่เป็นจำนวนเต็ม และไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนลบนี้ พึ่งจะถูกยอมรับให้ลงมาอยู่ในระบบจำนวนจริงเมื่อ 3ร้อยถึง5ร้อยปีนี้เอง เนื่องจากว่าในอดีตมันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะให้ตัวตั้ง น้อยกว่าตัวลบ เช่น 3-5 แต่ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทำให้เกิดจำนวนที่ไม่น่าจะเป็นไปได้นี้ขึ้นมา เช่นการคำนวนเกี่ยวกับการเงิน ซึ่งคำนวนกำไรขาดทุน (จำนวนบวกแทนกำไร, จำนวนลบแทนขาดทุน)
ดังนั้นเมื่อเรานำจำนวนทั้งหมดนี้มารวมกัน เราจะเรียกมันว่า จำนวนจริง ซึ่งถ้าเราจะแบ่งให้เป็นระเบียบก็จะได้ตามนี้
จำนวนจริง
1. จำนวนตรรกยะ
1.1 จำนวนเต็ม
1.1.1 จำนวนเต็มบวก
1.1.2 จำนวนเต็มศูนย์
1.1.3 จำนวนเต็มลบ
1.2 เศษส่วน/ทศนิยมซ้ำ
2. จำนวนอตรรกยะ
ซึ่งในความจริงแล้วเรายังสามารถจัดกลุ่มในรูปแบบอื่นได้อีก เช่น
จำนวนจริง
1. จำนวนพีชคณิต
2. จำนวนอดิศัย เป็นต้น
และที่จริงแล้วจำนวนจริงก็ยังเป็นแค่ส่วนหนึ่งของจำนวนที่ใหญ่กว่าอีกหลายๆจำนวน เช่น จำนวนเชิงซ้อน(complex number), ควอเทอร์เนียน(quaternion) ฯลฯ ถ้ามีความสนใจลองไปศึกษาต่อกันได้ครับ
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น