ก่อนที่เราจะมารู้ว่า ทำไมลบคูณลบถึงได้บวก ผมอยากจะเริ่มจ้นด้วยสมบัติการบวกและการคูณของจำนวนจริงก่อนนะครับ(ลำดับและจำนวนข้ออาจจะไม่เหมือนกับที่เคยเรียนกันนะครับ แล้วแต่ตำรา)
สมบัติการบวกและการคูณของจำนวนจริง
A1. สมบัติปิดการบวก
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a+b จะเป็นจำนวนจริงด้วย
A2. สมบัติสลับที่การบวก
a+b=b+a
A3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
(a+b)+c=a+(b+c)
A4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
0 ถือว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a+0=0+a=a
A5. สมบัติการมีตัวผกผันของการบวก
-a จะถือว่าเป็นตัวผงผันของ a เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a+(-a)=0=(-a)+a
M1. สมบัติปิดการคูณ
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a×b จะเป็นจำนวนจริงด้วย
M2. สมบัติสลับที่การคูณ
a×b=b×a
M3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
(a×b)×c=a×(b×c)
M4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
สำหรับทุกๆจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 จะถือว่า1เป็นเอกลักษณ์การคูณ เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a×1=1×a=a
M5. สมบัติการมีตัวผกผันของการคูณ
สำหรับทุกๆจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 จะถือว่า1/aเป็นตัวผกผันของ a เพราะว่า สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ a×(1/a)=1=(1/a)×a
D1. สมบัติการแจกแจง
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
------------------
หมายเหตุ:
1. สำหรับเอกลักษณ์การบวกและการคูณ จะมีแค่1ตัวเท่านั้น สำหรับทุกๆจำนวนจริง แต่ตัวผกผันจะมี1ตัวสำหรับแต่ละจำนวนจริง
เช่น เอกลักษณ์การบวกของ 2และ3 คือ 0 แต่ตัวผกผันการบวกของ 2 คือ -2 และ 3 คือ -3
2. การจะทำการหาเอกลักษณ์และตัวผกผันของการคูณ จะต้องนำสมาชิกที่เป็น เอกลักษณ์ของการบวกออกไปก่อนถึงจะหาได้ (0)
3. A ย่อมาจาก Addition (การบวก) M ย่อมาจาก Multiplication (การคูณ) และ D มาจาก Distribution (การแจกแจง) ที่เขียนอย่างนี้เพื่อที่เวลาจะอ้างอิงจะได้รู้ว่าใช้คุณสมบัติการบวกหรือการคูณ
-------------------
เมื่อเรารู้จักกับสมบัติของจำนวนจริงกันแล้วการที่จะแสดงว่า ลบคูณลบได้บวกนั้นสามารถแสดงได้หลากหลายวิธีเช่น
วิธีที่1
[1.] ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะได้ว่า -a เป็นตัวผกผันการบวกของ a (A5)
[2.] ในทำนองเดียวกัน ให้ -a เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า -(-a) ก็จะเป็นตัวผกผันของ -a (A5)
[3.] แต่จากหมายเหตุ1. เราได้ว่าจำนวนจริง 1 ตัว จะมีตัวผกผันเพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น แต่จาก [1.] และ [2.] เราได้ว่า ตัวผกผันของ -a คือ a (จาก[1.]) และ -(-a) (จาก[2.]) ดังนั้น ตัวผกผัน2ตัวนี้จึงจำเป็นที่จะต้องเท่ากัน หรือก็คือ a= -(-a) นั้นเอง
วิธีที่2
[1.] a×0 = 0
[2.] a×(b+(-b)) = 0 (ใช้ A5)
[3.] a×b + a×(-b) = 0 (ใช้ D1)
จาก [ 3.] จะเห็นได้ว่า ตัวผกผันของ a×(-b) คือ a×b
[4.] (-a)×0 = 0
[5.] (-a)×(b+(-b)) = 0 (ใช้ A5)
[6.] (-a)×b + (-a)×(-b) = 0 (ใช้ D1)
จาก [ 6.] จะเห็นได้ว่า ตัวผกผันของ (-a)×b คือ
(-a)×(-b)
แต่เนื่องจาก a×(-b) = (-a)×b (M2 และ M3) ดังนั้นทำให้ได้ว่า ทั้ง a×b และ (-a)×(-b) จะเป็นตัวผกผันของ a×(-b)
จากหมายเหตุ1. ทำให้สรุปำด้ว่า a×b = (-a)×(-b)
จะเห็นได้ว่าที่2วิธีนี้จะให้สมบัติที่ว่า ตัวผกผันของจำนวนจริงใดๆนั้นมีได้เพียง1 ตัวเท่านั้น
การเรียนคณิตศาสตร์ให้สนุก เราต้องฝึกตั้งคำถามบ่อยๆนะครับ เพราะความไม่รู้จะนำเราไปสู่ความรู้ใหม่ๆตลอด สุดท้ายนี้ผมอยากจะปิดด้วยคำคมของนักฟิสิกส์ท่านหนึ่งครับ
"I would rather have questions that can't be answered than answers that can't be questioned." Richard Feynman
ปล. ถ้าใครมีคำแปลที่มันดีๆ ก็ช่วยคอมเม้นให้หน่อยนะครับ(เผื่อจะขอยืมมาใช้ด้วย) พอดีว่าผมลองแปลแล้วมันฟังดูแปลกๆ เลยขอยังไม่แปลก่อนนะครับ 55555
----------------------
เพิ่มเติม:
ใน2วิธีนี้ วิธีแรกจะเป็นวิธีที่นิยมมากกว่าเนื่องจากว่าเราใช้สมบัติของจำนวนจริงเพียงอย่างเดียวซึ่งถ้าเกิดว่า เราเรียนคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย (เอกคณิต) เราจะเจอกับหัวข้อนึงได้ว่าด้วยสมบัติเหล่านี้ ซึ่งไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น การพิสูจน์ด้วยวิธีที่ 1 จะยังคงใช้ได้ แต่วิธีที่2 นั้น จะไม่สามารถใช้ได้เนื่องจากว่าในจำนวนจริงนั้น -a = -1×a แต่ในบางกรณี(นอนเหนือจากจำนวนจริง) อาจจะไม่เป็นจริงก็ได้
จากการแสดงด้านบน เรายังสามารถแสดงได้อีกว่า a = 1/(1/a) เมื่อ a ไม่เท่ากับ0 ซึ่งวิธีการก็จะคล้ายๆกันแต่เวลาที่เราทำอาจจะต้องระวังเพิ่มเติมอีกนิดหน่อย
ลองหาจุดผิดกันดูนะครับ
[1.] ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะได้ว่า 1/a เป็นตัวผกผันการคูณของ a (M5)
[2.] ในทำนองเดียวกัน ให้ 1/a เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า 1/(1/a) ก็จะเป็นตัวผกผันของ 1/a (M5)
[3.] แต่จากหมายเหตุ1. เราได้ว่าจำนวนจริง 1 ตัว จะมีตัวผกผันเพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น แต่จาก [1.] และ [2.] เราได้ว่า ตัวผกผันของ 1/a คือ a (จาก[1.]) และ 1/(1/a) (จาก[2.]) ดังนั้น ตัวผกผัน2ตัวนี้จึงจำเป็นที่จะต้องเท่ากัน หรือก็คือ a= 1/(1/a) นั้นเอง
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น