เกมOX เกมธรรมดาที่ไม่ธรรมดา

 เกม OX คืออะไร

เกม OX หรือชื่อภาษาอังกฤษคือ Tic-Tac-Toe เป็นเกมกระดานชนิดหนึ่งที่ผู้เล่นคนแต่ละฝ่ายจะผลัดกันวาง O และ X กันในกระดานขนาด 3×3 ช่อง เป้าหมายของเกมคือการทำให้สัญลักษณ์ของตัวเองเรียงกัน 3 ช่องในแนวนอน, แนวตั้ง หรือแนวทแยง โดยห้ามทำสัญลักษณ์ซ้ำที่ๆเคยมีคนเขียนก่อนน่านี้ ซึ่งเกม OX แบบมาตรฐานนี้ส่วนใหญ่จะจบลงที่เสมอกัน ทำให้หลายๆคนน่าจะเคยทำการขยายขนาดของกระดานจาก 3×3 ไปเป็น 4×4 หรือมากกว่านั้น

นักคณิตศาสตร์วิเคราะห์เกมนี้อย่างไร?

นักคณิตศาสตร์ก็ได้มีความสนใจในเกม OX นี้และทำการขยายกระดาน OX ให้มีความทั่วไปมากยิ่งขึ้น โดยขยายทั้ง ขนาด และ มิติ เช่น เราอาจจะเล่น OX ขนาด 3×3×3 ซึ้งก็คือ OX ที่มีขนาด 3 และมิติ 3 หรือว่าจะเป็น 4×4×4×4 ก็สามารถเล่นได้ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ได้ตั้งกฎไว้ว่า จะต้องเรียนเครื่องหมายให้ได้ครบทั้งแถว (เช่น กระดานขนาด 4×4 ก็จะต้องเรียงให้ได้ 4เครื่องหมาย ในแนวตั้ง แนวนอน หรือ แนวทแยง)แล้วถ้าเกิดว่าเล่นในมิติที่สู้ขึ้นละ เช่นใน4มิติ เราไม่สามารถเขียนกระดานใน4มิติได้ เราจะเล่นยังไง? นักคณิตศาสตร์ได้กำหนดพิกัดให้ช่องแต่ละช่อง เหมือนกันตอนม.ปลายที่เราเรียนเรื่องพิกัดฉาก ผมขอยกตัวอย่างเป็น OX ขนาด 3×3 ก็จะมีเลข 0,1,2(บางที่อาจจะใช้เป็น 1,2,3ไปเลย) โดยช่องมุมซ้ายล่างก็จะเขียนแทนด้วยพิกัด (0,0) และถ้าเลื่อนไปทางขวาจะ+1ไปที่คู่อันดับตัวหน้า และถ้าเลื่อนขึ้นด้านบนจะ+1ไปที่คู้อันดับตัวหลัง เช่น ช่องตรงกลางด้านขวา จะมีพิกัด (2,1) เป็นต้น ถ้าเป็น 3มิติ ก็จะมีพิกัด 3ช่อง ดังนี้ (0,0,0) เพราะเลื่อนได้3ทาง(ถ้าเพิ่มขนาดก็เพิ่มตัวเลข เช่น ขนาด4 ก็จะมีเลข 0,1,2,3เป็นต้น) ถ้ากำหนดดังนี้เราจะสามารถเล่นOXขนาดใด มิติใดก็ได้

แล้วถ้าเขียนในรูปพิกัดเราจะชนะกันเมื่อไหรละ? เมื่อเราลองเล่นดูสักพักจะเห็นได้ว่าเราจะเรียง3ช่องในแนวตั้ง แนวนอน หรือแนวทแยงใน เกม OX ขนาด 3×3 ก็ต่อเมื่อ พิกัดที่เราเลือกนั้นจะต้องมีคู่อันดับ 3 คู่ต้องไม่มีเลขซ้ำกันเลย หรือไม่ก็เลขซ้ำกันทุกตัว(ในที่นี้คือซ้ำ3ตัว)ในทั้งตัวหน้าและตัวหลัง เช่น (0,0),(0,1),(0,2) จะชนะ เพราะว่าคู่หน้าเลขทั้ง3 ซ้ำกัน ส่วนตัวหลังไม่ซ้ำเลย ส่วน (0,1),(1,1),(1,2) จะยังไม่ชนะเนื่องจากว่าถึงแม้ว่าเลยตัวหลังจะไม่ซ้ำเลย แต่ตัวหน้ามี1 ซ้ำกัน2ตัว

ผลลัพธ์ที่ได้

หลังจากที่เราเข้าใจตัววิธีการสร้างกระดานแล้ว เรามาดูที่ผลกันว่า ในเกมต่างๆนี้ ถ้าผู้เล่นทั้ง2ฝ่ายเล่นอย่างมีประสิทธิภาพแล้วใครจะเป็นผู้ชนะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ได้ทำการพิสูจน์แล้วว่า เกม OX ขนาด 3×3 นั้นเป็นเกมที่จะจบลงด้วยการเสมอกันมากไปกว่านี้เกม OX ทุกเกม (เพิ่มขนาดของกระดาน หรือ เพิ่มมิติของกระดาน) จะเป็นเกมที่มีผลได้แค่ 1 ใน2 อย่างนี้เท่านั้น คือ ผู้เล่นคนแรกชนะ หรือ เสมอ หลังจากนี้ขอเรียกว่า เกมชนะ กับ เกมเสมอ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่สามารถวิเคราะได้ว่าในเกม OX ขนาด n และ มิติ m จะมีผลแบบใด สิ่งที่เรารู้คือ ถ้าเกิดว่า เกมOX ขนาด n และมิติ m ได้ออกมาว่า เป็นเกมเสมอ จะได้ว่า เกมOX ขนาด n+k และมิติ m จะเป็นเกมเสมอ ด้วย และ ถ้าเกิดว่า เกมOX ขนาด n และมิติ m ได้ออกมาว่า เป็นเกมชนะ จะได้ว่า เกมOX ขนาด n และมิติ m+k จะเป็นเกมชนะ ด้วย

รูปแบบเกมOXที่สามารถเล่นได้ (ลองนำไปเล่นกับเพื่อนดูนะครับ)

1. เพิ่มขนาด
2. เพิ่มมิติ
3. เพิ่มผู้เล่น
4. เพิ่มกระดาน (เช่น OXขนาด 3×3 ก็จะให้แต่ละช่องมี OXขนาด 3×3อยู่ด้วย ถ้าในช่องนั้นใครชนะก็จะได้ช่องใหญ่ไป)

5. เล่นแค่ X อย่างเดียว (ใครเป็นคนทำ ให้ได้3อันติดกัน แพ้)
6. m,n,k game (ตารางขนาด m×n เรียงให้ได้ k สัญลักษณ์)


แล้วคุณละครับ เคยเปลี่ยนกติกา หรือ มีรูปแบบการเล่นเกม OX ยังไงบ้าง ลองนำมาแชร์กันดูนะครับ





อ้างอิง:

1. Higher-Dimensional Tic-Tac-Toe|Infinite series (https://youtu.be/FwJZa-helig)

2. Tic-Tac-Toe (with Xs only) - Numberphile (https://youtu.be/ktPvjr1tiKk)

3. LMS Popular Lecture Series 2016, 'One, two, red, blue', Dr. Julia Wolf (https://youtu.be/yG7b5Os9iwQ)

4. M,n,k-game (https://en.m.wikipedia.org/wiki/M,n,k-game)