การพิสูจน์คืออะไร? ทำไมต้องพิสูจน์?

การพิสูจน์คืออะไร?

การพิสูจน์ (Proof) มีรากศัพท์มาจากภาษาลาตินที่มีความหมายว่า "ทดสอบ" ในทางคณิตศาสตร์นั้นการพิสูจน์(เชิงคณิตศาสตร์)เป็นการแสดงให้เห็นว่าถ้าหากข้อความ(ประพจน์)หนึ่งเป็นจริงจะทำให้ประพจ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลของสมมติฐานดังกล่าวเป็นจริงด้วย ในทางคณิตศาสตร์นั้นเราจำเป็นที่จะต้องแสดงให้ได้ว่าประพจน์ที่เราต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริงในทุกกรณี สาเหตุหนึ่งที่สำคัญที่จะต้องแสดงว่าเป็นจริงทุกกรณีก็เพราะว่าคณิตศาสตร์แต่ละอย่างจะเป็นการต่อยอดจากคณิตศาสตร์ตัวก่อนหน้า ถ้าเกิดว่าสิ่งที่เราพิสูจน์มามีความผิดพลาดจะทำให้สิ่งที่ต่อยอดมาจากสิ่งๆนั้นผิดไปด้วยทั้งหมด

การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์มีกี่วิธี

ในการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้นสามารถแบ่งออกเป็นหลายวิธี บางทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการมากกว่า 1วิธี 

ตัวอย่างของวิธีพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์

1. การพิสูจน์โดยตรง (Direct proof)

2. การหาข้อขัดแย้ง (Proof by contradiction)

3. การแย้งสลับที่ (Contrapositive)

4. การพิสูจน์โดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction)

ตัวอย่างการพิสูจน์

ผมขอยกตัวอย่างง่ายๆมาพิสูจน์ให้ดูกันนะครับ

ทฤษฎีบท

ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ 2จำนวน จะเป็นจำนวนเต็มคู่

การพิสูจน์

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มคี่ 2 จำนวน ดังนั้น a จะสามารถเขียนอยู่ในรูป 2x+1 ได้ เมื่อ xเป็นจำนวนเต็ม ในทำนองเดียวกัน b = 2y+1 เมื่อ y เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a+b = (2x+1)+(2y+1) = 2x+2y+2 = 2(x+y+1) และเราจะเป็นว่า a+b สามารถเขียนอยู่ในรูปของ 2m ได้เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม (หรือก็คือ a+b หาร2 ลงตัว) ดังนั้น a+b จึงเป็นเลขคู่ ▢

ผมขอยกตัวอย่างการพิสูจน์อีก 1ตัวอย่างนะครับ ซึ่งการพิสูจน์นี้จะมีความซับซ้อนกว่าอันข้างบน (ถ้าใครงงก็สามารถข้ามไปอ่านอีกหัวข้อนึงได้เลยครับ)

ทฤษฎีบท

จำนวนเฉพาะมีมากมายเป็นอนันต์

การพิสูจน์

การพิสูจน์นี้จะใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง
สมมติว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนจำกัดถ้าเรานำจำนวนเฉพาะทั้งหมดมาคูณกันแล้วบวก1 ผลจะออกมาได้เป็น 2 กรณีเท่านั้น
1. จำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ
2. จำนวนนั้นไม่เป็นจำนวนเฉพาะ (จำนวนประกอบ)

กรณีที่1 จะขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนเฉพาะมีจำกัดเนื้องจากว่า จำนวนใหม่ก็เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ได้อยู่ในสมมติฐานตอนแรก
กรณีที่2 ถ้าจำนวนนั้นเป็นจำนวนประกอบแสดงว่านำนวนนั้นต้องเกิดจากจำนวนเฉพาะตั้งแต่2ตัวขึ้นไปนำมาคูณกัน แต่จำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของจำนวนประกอบนั้นจะอยู่ในสมมติฐานตอนแรกไม่ได้เนื่องจากว่า จำนวนเฉพาะที่อยู่ในสมมติฐานตอนแรกจะไม่สามารถหารจำนวนประกอบที่เกินขึ้นได้ลงตัว

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าจำนวนเฉพาะไม่สามารถมีจำกัดได้ หรือก็คือ จำนวนเฉพาะจะต้องมีมากมายเป็นอนันต์ ▢

ทำไมถึงต้องทำการพิสูจน์?

พอมาถึงตรงนี้หลายคนอาจจะได้คำตอบแล้วว่าทำไมเราถึงต้องทำการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ แต่ในความเป็นจริงแล้วการพิสูจน์ทฤษฎีบทแต่ละอัน ก็ไม่ได้ง่ายเสมอไป บางทฤษฎีบทใช้เวลาหลายร้อยปีเพื่อที่จะเตรียมองค์ความรู้ และเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อทำการพิสูจน์ เข่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (Fermat's last theorem) ข้อคาดคะเนบางอย่างก็ยังไม่สามารถพิสูจน์ได้จนถึงปัจจุบัน เช่น ข้อคาดคะเนของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) ซึ่งตัวข้อคาดคะเนของโกลด์บาคได้บอกไว้ว่า "สำหรับจำนวนคู่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ4 จะสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจำนวนเฉพาะ2ตัวได้เสมอ" ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์จะสามารถตรวจสอบว่าข้อคาดคะเนของโกลด์บาคเป็นจริงสำหรับเลขหลายล้านล้านตัวแล้วก็ตาม แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้อยู่ดีว่ามันเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนคู่หรือไม่
ต่อไปผมอยากจะยกตัวอย่างข้อความที่เหมือนจะจริงแต่ว่าเมื่อเราตรวจสอบไปมากพอเราจะสามารถรู้ได้ว่าข้อความนี้ไม่จริง

ตัวฟังก์ชันข้างบนนี้ถ้าเราลองใส่จำนวนนับลงไปเราจะเห็นได้ว่า ค่าที่ได้จะออกมาเป็นจำนวนเฉพาะ?

ถ้าใส่ n=1 เราจะได้ f(1)=43 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ หากเราทำแบบนี้ไปเรื่อยๆค่าที่ได้จะเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนเมื่อ เราให้ n=40 เราจะได้ f(40)= 41^2 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ นั้นแสดงว่าข้อความที่ว่า ถ้สใส่ n ที่เป็นจำนวนนับแลงไปใน f(n) แล้วจะได้คำตอบเป็นจำนวนเฉพาะ ไม่เป็นความจริง

ตัวอย่างต่อไปอาจจะต้องใช้ความรู้ที่สูงขึ้นมาหน่อยนะครับ

ถ้าเราทำการเพิ่มพจน์ในแบบรูปข้างบนไปเรื่อยๆ เรายังจะได้คำตอบออกมาเป็น 𝜋/2 อยู่หรือเปล่า?

คำตอบคือไม่ใช่ครับ ถึงแม้ว่าเราจะเพิ่มพจน์เข้าไปถึง 10^43 พจน์ (บางคนอาจจะไม่เห็นภาพ 10^43 คือ 1ที่ตามด้วย0จำนวน 43หลัก, 1ล้าน คือ 10^6) เราก็ยังได้คำตอบเป็น 𝜋/2อยู่ดีก็เถอะ แต่เมื่อจำนวนพจน์เลย 7.4*10^43 พจน์ไปคำตอบของเราก็จะไม่ใช่𝜋/2อีกต่อไปแล้ว

2ตัวอย่างข้างบนน่าจะพอเป็นตัวอย่างที่ดีว่าทำไมเราถึงจำเป็นต้องพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นะครับ ไม่ใช่แค่ลองใส่ตัวเลขหรือดูแค่กรณีใดกรณีหนึ่ง

ปล.
- ใครมีบทพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ที่ตัวเองชอบนำมาแชร์กันได้นะครับ
- อยากให้ผมเพิ่มหรือลดความลึกของเนื้หาบอกได้นะครับ

อ้างอิง:
1. https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/